UNIDAD 1

Proposiciones

Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b.

Ejemplo:

·         Hoy es lunes. (si es proposición ya que se puede verificar).

·         Hablo y no hablo.

·         Viene o no viene.

·         Carlos Fuentes es un escritor.                                           (Simple)

·         Sen(x) no es un número mayor que 1.                              (Compuesta)

·         El 14 y el 7 son factores del 42.                                         (Simple)

·         El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.        (Compuesta)

·         El 2 o el 3 son divisores de 48.                                          (Simple)   

·         El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.                      (Compuesta)    

·         Si x es número primo, entonces x impar.                         (Compuesta)

·         Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.                                          (Compuesta)  

·         No todos los números primos son impares.                       (Compuesta)

Operadores lógicos

son símbolos que se usan para comparar dos valores. Si el resultado de la comparación es correcto la expresión considerada es verdadera, en caso contrario es falsa. 

Los operadores lógicos son:

• && AND (el resultado es verdadero si ambas expresiones son verdaderas)
• || OR (el resultado es verdadero si alguna expresión es verdadera)
• ! NOT (el resultado invierte la condición de la expresión)

AND y OR trabajan con dos operandos y retornan un valor lógico basadas en las denominadas tablas de verdad. El operador NOT actúa sobre un operando. Estas tablas de verdad son conocidas y usadas en el contexto de la vida diaria, por ejemplo: "si hace sol Y tengo tiempo, iré a la playa", "si NO hace sol, me quedaré en casa", "si llueve O hace viento, iré al cine". Las tablas de verdad de los operadores AND, OR y NOT se muestran en las tablas siguientes

El operador lógico AND

x	y	resultado
true	true	true
true	false	false
false	true	false
false	false	false

El operador lógico OR

x	y	resultado
true	true	true
true	false	true
false	true	true
false	false	false

El operador lógico NOT

x	resultado
true	false
false	true

Tautología Contradicción Contingencia

Una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos. 

En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran, o de un modo más sencillo: la supuesta explicación de algo mediante una perogrullada, la “explicación” o definición de algo mediante una ligera variación de palabras que tienen en conjunto el mismo significado ya conocido de lo supuestamente explicado (Ej.: “Existe el calor porque lo provoca el calórico”). 

Tautología: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es válido. 

Una contradiccion es uan expresion logica que es falsa para todos sus valores. 

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción. 

Ejemplo 1: 

La expresión ‘(p ^ q) → (p ∨ r)’ es una tautología 

Tautologías Fundamentales 

UNIDAD 2

Conjuntos

odos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto".

Ejemplos:

·         a) El conjunto formado por los primeros veinte números naturales.

·         b) El conjunto formado por docentes de una Institución Educativa.

·         c) El conjunto formado por los actuales presidentes regionales del Perú.

·         d) El conjunto formado por las computadoras de una cabina de Internet.

·         Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto intuitivo", el cual pues no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elementos lo cual contradice la idea que teníamos.

·         Ejemplos:

·         a) El conjunto constituido por los animales que maman.

·         b) El conjunto de ciudades de la sierra peruana.

·         c) El conjunto de los números naturales menores que 6 y mayores que 5.5

·         d) El conjunto de de personas mayores de 500 años de edad.

Si tomamos todas las ideas anteriores entonces conjunto se define como "la presencia o ausencia de elementos con características semejantes dentro de un contexto real o imaginario".

Tipos de conjuntos

Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.

Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.

Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

Operaciones de conjuntos

1.1- Unión de conjuntos:

La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.

Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión se representa;

Propiedades de la unión de conjuntos;

1° (A U A) = A

2° (A U B) = B U A

3° A U (B U C) = (A U B) U C

4° A U ᴓ = A

5° A U U = U

Ejemplo:

Sean los conjuntos;

Representar  A U B en un diagrama de Venn.

Para poder resolver este ejercicio, como los conjuntos A y B están definidos por comprensión, primero es conviene escribir estos conjuntos por extensión, para poder ver todos sus elementos;

Y luego, representamos la unión en diagrama de Venn;

1.2- Intersección de conjuntos:

La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los elementos comunes de A y B pero.

Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto vacío (ᴓ) y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A, y se representa;

Propiedades de la intersección de conjuntos;

1° (A ∩ A) = A  Idempotencia

2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa

3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa

4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad

5° A ∩ U = A Identidad

Nota: La idempotencia es la propiedad para realizar la operación varias veces, y siempre obtener el mismo resultado que se obtendría si se realizara solo una vez.

Ejemplo:

Determina dos conjuntos que puedan dar origen a la intersección;

Para determinar dos conjuntos que den origen a esta intersección debemos buscar conjuntos que contengan estas letras, nosotros haremos los siguientes conjuntos, pero tú puedes formar otros;

Si representamos la intersección en un diagrama de Venn quedaría de la siguiente forma;

1.3- Diferencia de conjuntos:

La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.

La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ), y se representa;

d) Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, la diferencia se representa;

Propiedades de diferencia de conjuntos;

1° (A - B) ≠ B - A 

2° A - B = A ∩ B’

3° A - ᴓ = A

4° A - U = ᴓ

5° ᴓ - A = ᴓ

6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5} .

¿Cuál es la diferencia de A - B?

1.4- Conjunto complementario:

Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe A^c, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

Es decir, también podemos interpretarlo como;

Propiedades de conjunto complementario;

1° A U A^C = U

2° A ∩ A^C = ᴓ

3° U^C = ᴓ

4° ᴓ^C = U

5° (A^C)^C = A

Ejemplo:

Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u } ¿cuál es el complemento de A?

Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos A^c.

1.5- Diferencia simétrica de conjuntos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B y A ∩ B.

La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A, y se representa;

Propiedades de conjunto complementario;

1° A Δ B = B Δ A

2° (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

3° A Δ A = ᴓ

4° A Δ ᴓ = A

5° A Δ U = U - A

Ejemplo:

Sean dos conjuntos A = { a, b, c } y { a, b, c, d, e, f } ¿Cuál es la diferencia simétrica de A y B? 

Recuerda: Para poder resolver un  ejercicio con conjuntos definidos por comprensión, primero es conviene escribir  estos conjuntos por extensión, para que sea más fácil resolver los ejercicios.

Producto cartesiano

El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por la totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo componente en B.

Veamos un ejemplo. Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}

El producto cartesiano, por lo tanto, está formado por todos los pares ordenados que se pueden formar a partir de dos ciertos conjuntos. Cada par ordenado se constituye por dos elementos: el primer elemento pertenece a un conjunto y el segundo elemento, al otro. Si seguimos con nuestro ejemplo, en el par ordenado (3,m), 3 es el primer elemento (corresponde al conjunto A) y m es el segundo elemento (perteneciente al conjunto B).

Unidad 3

Ecuaciones

En matemática se llama ecuación a la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que serán denominados miembros de la ecuación. En las ecuaciones, aparecerán relacionados a través de operaciones matemáticas, números y letras (incógnitas).

La mayoría de los problemas matemáticos encuentran expresadas sus condiciones en forma de una o varias ecuaciones.

En tanto, cuando cualquiera de los valores de las variables de la ecuación cumpla la igualdad, se denominará a esta situación como solución de ecuación.

Ante una ecuación pueden ocurrir los siguientes escenarios, que ninguno de los valores de la incógnita arriben a la igualdad, o bien por el contrario, que todo valor posible de la incógnita lo cumpla, en este caso estaríamos ante lo que se denomina en matemáticas identidades y cuando dos expresiones matemáticas coinciden en la desigualdad, a la misma, se la determinará como inecuación.
En dicha ecuación, 4 y 9 son los datos, mientras que x es la incógnita. La ecuación puede resolverse de la siguiente forma:

4 + x = 9

x = 9 – 4

x = 5

El valor de la incógnita, por lo tanto, es 5.

Inecuaciones

Inecuación

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) <= g(x), f(x) > g(x) o f(x)>= g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

5x + 6 < 3x – 8

5x - 3x < -8 – 6

2x < -14

x < -7

Todos los valores de x menores que -7 satisfacen la inecuación.

Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

3x > -2

-9x < 6

x < -2/3

UNIDAD 4

Rango y dominio

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.